Геометричні перетворення площини

Mer som dette

Методи розв'язування задач на побудову

Ved Ткач Карина

Means of transport

Ved Елена Соловьева

САКРАМЕНТАЛЬНІСТЬ ВАНІЛЬКИ

Ved Нікіфоряк Валентин

Механічний рух

Ved Андрій Ткаченко

Текущая тема

Якщо рух не змінює орієнтації площини, то його називають власним (рухом І роду), якщо змінює, то – невласним (рухом ІІ роду)

ГЕОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПЛОЩИНИ

ЗАДАЧІ

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

Гомотетія

У гострокутний трикутник АВС впишіть квадрат так, щоб дві його вершини лежали відповідно на сторонах АВ і ВС, а дві інші - на стороні АС.

Поворот

На рисунку зображено пряму а і точку О. Побудуйте образ прямої а при повороті навколо точки О проти годинникової стрілки на кут 45 градусів.

Центральна симетрія

Точка М належить куту АВС. На сторонах ВА і ВС кута знайдіть такі точки E i F, щоб точка М була серединою відрізка ЕF.

Осьова симетрія

Дано рівнобедренний трикутник АВС. Провели пряму l, яка містить бісектрису кута С. Потім увесь рисунок витерли, залишивши лише точки А і В та пряму l. Відновіть трикутник АВС.

Паралельне перенесення

Усередині паралелограма ABCD взято точку О так, що

ПОДІБНІСТЬ. ГОМОТЕТІЯ

Означення, властивості подібності.

Властивості подібності:

1.   Подібність переводить пряму в пряму, паралельні прямі в паралельні прямі.

2.   Подібність зберігає просте відношення трьох точок.

3.    При перетворенні подібності кут переходить в рівний йому кут.

4.   При подібності півплощина переходить у півплощину.

5.    Подібність змінює орієнтацію площини, якщо рух змінює

орієнтацію площини (рух невласний) і не змінює в противному (якщо рух власний). В першому випадку перетворення подібності називається невласним (перетворенням подібності 2-го роду ), в другому – власним (перетворенням подібності 1-го роду ).

Означення, властивості гомотетії.

Властивості гомотетії:

1. Гомотетія з коефіцієнтом $m$, який не дорівнює $1$ переводить пряму, яка не проходить через центр гомотетії в паралельну їй пряму, а пряму яка проходить через центр гомотетії  в себе.

2.   Гомотетія зберігає просте відношення трьох точок.

3.   Гомотетія переводить відрізок у відрізок, промінь у промінь, півплощину в півплощину.

4.   Гомотетія переводить кут у рівний йому кут.

5.   Гомотетія зберігає орієнтацію площини.

Формули аналітичного задання

Центральний гомотетії може розташовуватися і всередині фігури.

Якщо фігури розташовані на протилежних напрямах від центру гомотетії, то коефіцієнт від'ємний.

Аби гомотетія була визначена, повинен бути заданий центр гомотетії і коефіцієнт.

Класифікація рухів. Аналітичне задання. Інваріантність.

Формули аналітичного задання руху

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні. Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні . Частинним випадком інваріантної прямої,є пряма інваріантних точок, усі точки якої є інваріантними.

Інваріантна точка (нерухома) перетворення – це точка, яка переходить в себе при даному перетворенні.

Інваріантна пряма (нерухома) – це пряма, кожна точка якої переходить в точку цієї ж прямої при даному перетворенні .

Частинним випадком інваріантної прямої,є пряма інваріантних точок, усі точки якої є інваріантними.

Означення руху. Властивості.

Рухом називається таке перетворення площини, яке зберігає відстані між точками.

Впорядковану трійку точок , площини, які не лежать на одній прямій називають репером.

Позначають: $R=(A,B,C)$.

Точку $A$ називають початком, а $B,C$ – вершинами.

Властивості руху

1.    Рух переводить пряму у пряму, причому паралельні прямі в паралельні прямі.

2.    Рух зберігає просте відношення трьох точок.

3.    Рух зберігає поняття „лежати між”.

4.    Рух переводить півплощину з границею $l$ в півплощину з границею $l'$ , де $l'$ – образ прямої $l$ .

5.    Рух переводить промінь в промінь.

6.    Рух переводить кут в рівний йому кут (так як переводить трикутник в рівний йому трикутник).

Будемо говорити, що перетворення площини зберігає орієнтацію площини, якщо репер $R$ і його образ $R'$ однаково орієнтовані і змінює орієнтацію площини, якщо $R$ і $R'$ протилежно орієнтовані.