Lógica proposicional

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Lógica proposicional

TAUTOLOGIAS, CONTRADICCIONES Y CONTINGENCIAS

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn. P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn. En adelante, notaremos por “C” a una contradicción y por “T” a una tautología. Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia.

La conjunción

Es la utilización de un Y en la unión de dos opiniones o condiciones dadas, donde únicamente será verdadera o positiva cuando ambas condiciones u opiniones son verdaderas. Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición será verdadera ´únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧ q es falsa.

Valor de verdad

Llamaremos valor verdadero o de verdad de una proposición a su veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera es verdad y el de una proposición falsa es falso.

Ejemplo 1.3 Dígase cuáles de las siguientes afirmaciones son proposiciones y determinar el valor de verdad de aquellas que lo sean. (a) p: Existe Premio Nobel de informática. (b) q: La tierra es el único planeta del Universo que tiene vida. (c) r: Teclee Escape para salir de la aplicación. (d) s: Cinco más siete es grande.

Proposición

Llamaremos de esta forma a cualquier afirmación que sea verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

Ejemplo 1.1 Las siguientes afirmaciones son proposiciones. (a) Gabriel García Márquez escribió Cien años de soledad. (b) 6 es un número primo. (c) 3+2=6 (d) 1 es un número entero, pero 2 no lo es. Ejemplo 1.2 Las siguientes no son proposiciones. (a) x + y > 5 (b) ¿Te vas? (c) Compra cinco azules y cuatro rojas. (d) x = 2 Solución En efecto, (a) es una afirmación pero no es una proposición ya que será verdadera o falsa dependiendo de los valores de x e y e igual ocurre con la afirmación (d). Los ejemplos (b) y (c) no son afirmaciones, por lo tanto no son proposiciones. Desde el punto de vista lógico carece de importancia cual sea el contenido material de los enunciados, solamente interesa su valor de verdad.

Tablas de verdad

La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.

La disyunción

Es la utilización de un O en la unión de dos opiniones o condiciones dadas, donde únicamente será falsa o negativa cuando ambas condiciones u opiniones son falsas. Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p ´o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p ó q lo es. De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ó q, es verdad entonces p ∨ q es verdad y que p ∨ q será falsa, únicamente si ambas lo son.

La negacion

Es exclusivamente decir lo contrario, es negar, pero en un mismo contexto, de la respuesta con obtienes es lo contrario a esa respuesta, de esta manera será más sencillo utilizar esta conectiva lógica. Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

Proposiciones y tabla de verdad

En el desarrollo de cualquier teoría se hacen afirmaciones en forma de frases y que tienen un sentido pleno. Tales afirmaciones, verbales o escritas, las denominaremos enunciados o proposiciones.

Proposición compuesta

Deben existir dos o más proposiciones, va a estar unida por operadores lógicos los cuales son el and, or, not. El valor verdadero depende de los pequeños resultados que podemos obtener en cada una de las pequeñas proposiciones.

Ejemplo 1.4 “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida y Mozart fue un gran compositor” es una proposición compuesta por las proposiciones “La Matemática Discreta es mi asignatura preferida” y “Mozart fue un gran compositor”. “El es inteligente o estudia todos los días” es una proposición compuesta por dos proposiciones: “El es inteligente” y “El estudia todos los días”. Nota 1.2 La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente de terminado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen junto con la forma en que están conectadas.

Variables de enunciado

Es una proposición arbitraria con un valor de verdad no especificado, es decir, puede ser verdad o falsa. En el cálculo lógico, prescindiremos de los contenidos de los enunciados y los sustituiremos por variables de enunciado. Toda variable de enunciado puede ser sustituida por cualquier enunciado siendo sus posibles estados, verdadero o falso. El conjunto de los posibles valores de una proposición p, los representaremos en las llamadas tablas de verdad, ideadas por L.Wittgenstein