Funciones a trozos
Ejemplo 3
Ejemplo 2
Ejemplo 1
Se dice f es continua en x=a
Una función es continua en x=a si lo es por la derecha y por la izquierda a la vez
El punto donde se estudia la continuidad siempre pertenece al dominio de la función en cuestión
Estudio de la continuidad de una función f(x)
Propiedades de las funciones continuas
Función compuesta
Si f es continua en x=a y g es continua en f(a)
Si f y g son funciones continuas en x=a
Son continuas en x=a
f(x) · g(x)
f(x)-g(x)
f(x)+g(x)
Comprobar que f presenta una discontinuidad en un punto
Dependiendo de cuál de las tres condiciones que determinan la continuidad de una función en un punto x=a falle
Cuando el límite de f en un punto no existe, aún cuando la función no tiende a infinito.
Ejemplo
Inevitables o esenciales
De salto finito
Decimos que f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en x=a.
Ambos existen y finitos
De salto infinito
Decimos que f tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito en x=a.
O los dos son infinitos
Evitables
Si queremos que f sea continua en x=a, se `puede definir una nueva f con
Decimos que f tiene una
discontinuidad evitable
en el punto x=a
PERO FINITO
Discontinuidad evitable
Funciones elementales
Las funciones polinómicas son continuas en todo R
Comprobar que f es continua
Si f está definida solamente en el intervalo [a, b] y se dice que f(x) es continua en a o en b, se entiende en el sentido de que
En un intervalo [a,b)
En un intervalo (a,b]
En un intervalo abierto (a,b)
Cuando f es continua en cada uno de sus puntos
En un intervalo cerrado [a,b]
Si cumple
Continua en todos los puntos pertenecientes a dicho intervalo
En un punto x=a
f es continua por la izquierda en a, si
f es continua por la derecha en a, si
Si no las cumple
f(x) es discontinua en el punto x=a
Cumplir las siguientes condiciones
Que el límite de f(x) en x=a coincida con f(a)
Que exista f(a)
Que exista el límite de f(x) en el punto x=a
Idea intuitiva
Que no haya que levantar el lápiz del papel al dibujar la gráfica de una función cuando pasemos por los puntos en los que está definida.
