ESPACIOS VECTORIALES

Honelako gehiago

Equilibrio Térmico

by Juliana Gonzalez Acuña

GOKU

by adriana matallana

CINEMATICA DE ROBOTS MOVILES

by cindy vera

MODELO DE MESULAM

by KIARA PAULINA CASTRO DEULOFEUTT

ESPACIOS VECTORIALES

Transformaciones Lineales (L)

Matriz de rotación

Los ejes x, y son denotadas con el ángulo \alpha, es decir, el resultado son dos ejes perpendiculares pero notados con un ángulo \alpha.

Px = OB – AB Px = pu cos α - pu sin α Py = AA’ + A’P Py = pu sin α + pu cos α Luv=cos α-sin αsin α cos αuv= px py

Condiciones para que L sea una transformación lineal

Sean v, w dos espacios vectoriales; una transformación lineal de v en w es una función que asigna a cada vector elemento de v un ÚNICO vector elemento de w, L(u) cumple con las siguientes condiciones:

2. L(k u) = k(L u); k es un escalar u ∈ V; L(u) ∈ W

1. L(u + v) = L(u) + L(v); u, v ∈ V , L(u), L(v) ∈ W

L: U -> W u -> L(u) u, w espacios vectoriales

C. Primitivo

Toda va de acuerdo a la necesidad

SIGLO XX

Se encuentran formados por dos conjuntos y dos operaciones. El primer conjunto contiene los vectores y el segundo conjunto que se denomina cuerpo es en donde se definen + y x

+: Suma vectorial X: Producto escalar por un vector K: Cuerpo

Sea w un conjunto vacío y v un espacio vectorial con los operadores + y x, entonces w es un espacio vectorial si y solo si cumple con: u x v ∈ W; Para todo u, v ∈ W c x u ∈ W; Para todo u ∈ W, c ∈ W

Sea w un espacio vectorial y w subconjunto de V en un espacio vectorial, entonces w se denomina subespacio vectorial

Si el conjunto (cuerpo) son reales, entonces el espacio vectorial son E.U reales (U, R, +, x)

2. Sea c, d ∈ R, u, v ∈ V cerradura respecto al producto: c(u + v) = c x u + c x v (c + d) x u = c x u + d x u c x (d x u) = (c x d) x u Existe el 1, talque: 1 x u = u x 1 = u

1. Sea x, v ∈ V entonces u + v ∈ V cerradura respecto a la suma: u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Existe un elemento cero (0) en V tal que: 0 + u = u + 0 = u Para todo u ∈ V, existe -u ∈ V, tal que: u + (-u) = 0

Base de un espacio vectorial

Bases ortogonales y ortonormales en un espacio vectorial

Bases ortonormales: Sea S = {v1, v2, v3, ….,vk} elementos del espacio vectorial V, S representa a una base ortonormal de v Si el conjunto w = { u1, u2, u3, ….., u4} en el que: - U1: es el conjunto unitario de v1 - U2: es el conjunto unitario de v2 - U3: es el conjunto unitario de v3 - Uk: es el conjunto unitario de vk Son ortonormales

Bases ortogonales: Sea S ={v1, v2, v3, ….,vk} elementos del espacio vectorial V, S representa base ortogonal si el producto entre vectores diferentes es cero • Ortogonal representa perpendicularidad para R² y R³

Vector unitario (u): es un vector de “magnitud”, “extensión”, “longitud” 1 (modulo uno) u = v/|√v|

Los vectores v1, v2, v3, …, vk elementos de un espacio vectorial V, representan una base de V si cumple dos condiciones

2. v1, v2, v3, …, vk sea linealmente independientes

1. v1, v2, v3, …, vk generen a V

Construcción de bases ortogonales y ortonormales

Este proceso denominado Gram Schmidt forma una base que no es ortogonal ni ortonormal para construir de forma interactiva una nueva base ortogonal y ortonormal, su proceso se fundamenta en diferentes teoremas

Teorema

• Si s = {u1, u2, u3, …, uk} una base en R^n y v en vector elemento de R^n, entonces v = c1u1 + c2u2 + c3u3 + …. + ciui + …. + cnun donde las constantes: Ci = VUi 1 ≤ i ≤ n

Corolario: Sea S = {u1, u2, u3, …, ui, ….un} una base de R^n y v un vector elevado de R^n, entonces: • V = c1u1 + c2u2 + c3u3 + …. + ciui + …. + cnun donde las constantes: Ci = VU1/U1 x U1 1 ≤ i ≤ n En el que S es una base ortogonal

Proceso de construcción Gram Schmidt

3. Una vez obtenidos v1, v2, v3, …, vi -1 que forman parte de la base ortogonal, se construyen o determinan w1, w2, w3, …, wi-1 elementos de la base ortonormal W1 = v1/|v1| W2 = v2/|v2| Wi-1 = vi-1/|vi-1| Unitarios de la base ortonormal T = {w1, w2, w3, …, wi-1} base ortonormal

2. vi = ui – (ui x v1/v1 x v1)v1 – (ui x v2/v2 x v2)v2 - (ui x v3/v3 x v3)v3 …. - (ui x v-1/ v-1 x v-1) v-1 Ui es elemento de la base S no ortogonal V1. V2, V3, …… Vi forman parte de la nueva base ortogonal

1. Consideramos U1 = V1 U es elemento de la base s no ortogonal