Categorie: Tutti

da Наталія Городюк mancano 5 anni

1385

Правильні многогранники

Правильный многогранник обладает гранями в виде правильных многоугольников с одинаковым числом сторон, причём в каждой вершине сходится одинаковое количество рёбер. Например, правильный тетраэдр представлен четырьмя равносторонними треугольниками, и каждая его вершина объединяет три треугольника, образуя углы в 180 градусов.

Правильні многогранники

Правильні многогранники

Правильним многогранником   є многогранник, грані якого є правильними многокутниками з рівною кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться однакова кількість ребер.

Гексаедр

У куба всі шість граней – квадрати. Кожна з вершин куба є вершиною трьох квадратів. Сума плоских кутів при кожній з вершин куба дорівнює двомстам сімдесяти градусам. Куб має один центр симетрії.

Для куба, довжина ребер якого дорівнює a:

Площа поверхні {\displaystyle 6a^{2}\,}

Діагональ грані {\displaystyle {\sqrt {2}}a}

Радіус описаної сфери {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}a}

Радіус вписаної сфери {\displaystyle {\frac {a}{2}}}

Об'єм {\displaystyle a^{3}\,}

Просторова діагональ {\textstyle {\sqrt {3}}a}

Радіус сфери, що дотична до ребер {\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}

Кут між гранями (у радіанах) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}

Тетраедр

У правильного тетраедра всі чотири грані – рівносторонні трикутники. Кожна з його вершин є вершиною трьох трикутників. Сума плоских кутів при кожній із вершин дорівнює 180 градусам. Правильний тетраедр не має центра симетрії.

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:

Площа поверхні \sqrt3a^2\,\!

Об'єм \frac{\sqrt2}{12}a^3

Висота \sqrt\frac{2}{3}a\,\!

Радіус вписаної сфери \frac{\sqrt6}{12}a

Радіус описаної сфери \frac{\sqrt6}{4}a

Кут нахилу ребра \arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi

Кут нахилу грані \arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi

Октаедр

У правильного октаедра всі вісім граней – рівносторонні трикутники. Кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Сума кутів плоских кутів при кожній вершині дорівнює двомстам сорока градусам. Правильний октаедр має центр симетрії.

Площа S і об'єм V октаедра з довжиною ребра а обчислюється за формулами:

{\displaystyle S=2{\sqrt {3}}a^{2}}

{\displaystyle V={\begin{matrix}{1 \over 3}\end{matrix}}{\sqrt {2}}a^{3}}

Ікосаедр

У правильного ікосаедра всі двадцять граней – рівносторонні трикутники. Кожна з вершин ікосаедра є вершиною п’яти трикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин ікосаедра дорівнює трьомстам градусам. Правильний ікосаедр має центр симетрії.

Площа S, об'єм V ікосаедра з довжиною ребра a, а також радіуси вписаної і описаної куль обчислюються за формулами:

S=5{\sqrt 3}a^{2}

V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt 5})a^{3}

r={\begin{matrix}{1 \over {4{\sqrt 3}}}\end{matrix}}(3+{\sqrt 5})a

R={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}{\sqrt {2(5+{\sqrt 5})}}a

Додекаедр

У правильного додекаедра всі дванадцять граней – правильні п’ятикутники. Кожна з вершин додекаедра є вершиною трьох правильних п’ятикутників. Сума плоских кутів при кожній з вершин дорівнює трьомстам двадцяти чотирьом градусам. Правильний додекаедр має центр симетрії.

Розгортка
Властивості
Формули

Площа поверхні A і об'єм V додекаедра зі стороною a можна обчислити за формулами:

{\displaystyle A=(3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}})a^{2}\approx 20.6457288a^{2}}

{\displaystyle V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.66311896a^{3}.}

Радіус описаної сфери:

{\displaystyle R=a\phi {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1.4a} , де \phi  - золотий перетин.

Радіус вписаної сфери:

{\displaystyle r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1.1a}

Двогранний кут між гранями:

{\displaystyle \alpha =2\arctan {\phi }\approx 116.56^{\circ }} , де \phi  - золотий перетин.

Mindomo

Su di Noi
Guida
Contattaci
Prezzi
Galleria di mappe mentali pubbliche
Modelli di mappe concettuali

Maggiori informazioni

Blog
Termini e Condizioni
Informativa sulla privacy
Sicurezza
Accessibilità
Politica di sicurezza

Domande frequenti

Cos'è una mappa mentale?
Crea una mappa concettuale online
Esempi di mappe mentali
Cos'è una mappa concettuale?
Programmi per fare mappe concettuali