Algebra de Boole

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verdadero o verdadero es verdadero verdadero o falso es verdadero falso o verdadero es verdadero falso o falso es falso verdadero y verdadero es verdadero verdadero y falso es falso falso y verdadero es falso falso y falso es falso

Estas reglas de De Morgan pueden generarse para cualquier número de variables

Subtema

(a+b)=ab (ab)=a+b

Modelo lógico

Un juicio al cual se le aplica el operador lógico no (negación) forma un nuevo juicio.

Los valores que pueden asignarse a un juicio, desde el punto de vista lógico, son dos: verdadero (V) o falso (F).

Si vinculamos los valores booleanos 0 y 1 con los valores lógicos F y V respectivamente, encontramos que las operaciones del álgebra de Boole "binaria" asigna correctamente los valores lógicos del juicio combinación.

Ley de De Morgan

Para todo par de elementos de G se cumple

Para cada elemento de G se cumple : a = |a Para todo par de elementos de G se cumple : a+ab=a a(a+b)=a ara todo par de elementos de G se cumple : a+|ab= a+b a(|a+b)=ab

Complemento de complemento

Propiedades

Neutros Cruzados

Para todo elemento en G se cumple

a+1=1 a*0=0

Demostración

a+1=a+(a+|a) a+1=(a+a)+|a (asociativa) a+1=a+|a (idempotencia) a+1=1 a*0=0 (dualidad)

Asociativa

a) a  (b  c)  (a  b)  c b) a (b  c)  (a b) c

Idempotencia

Para todo elemento en G se cumple: a+a=a a*a=a

demostración

a+a=(a+a) a+a=(a+a)*(a+|a) a+a=a+(a*|a) a+a=a+0 a+a=A a*a=a (dualidad)

Dualidad

se presentan de a pares y en tal forma que uno de la pareja se obtiene de otro cambiando "0" por "1" junto con "+" por ""

Modelo aritmético

El ejemplo más simple del álgebra de Boole se compone de un conjunto G de 2 elementos: "0" y "1".

Como es natural estos dos elementos deben coincidir con los neutros de las reglas de combinación para satisfacer el axioma

Por lo tanto las reglas completas son:

1*1=1

1*0=0

0*1=0

0*0=0

1+1=1

1+0=1

0+1=1

0+0=0

Axiomas

Existen por lo menos dos elementos x, y en G tal que x <> y

Complemento

Para cada elemento a de G existe un elemento a tal que: a*a=0 a+a=1

Distributivos

Para toda terna de elementos a, b, c pertenecientes a G se cumple: a (a) a + (b  c) = (a + b)  (a + c) b (b) a  (b + c) = a . b + a  c

Conmutativos.

Para todo par de elementos a y b pertenecientes a G se cumple: (a) a + b = b + a (b) a  b = b  a

Neutros

(b) Existe un elemento 1 en G tal que para cada a de G: a  1 = a

(a) Existe un elemento 0 en G tal que para cada a de G: a + 0 = a

(a) Se define una regla de combinación "+" en tal forma que a + b está en G siempre que al menos a o b lo estén. (b) Se define una regla de combinación "" en tal forma que a  b está en G siempre que tanto a como b lo estén.

Existe un conjunto G de objetos, sujetos a una relación de equivalencia, denotada por "=" que satisface el principio de sustitución. Esto significa que si a = b, b puede sustituir a a en cualquier expresión que la contenga, sin alterar la validez de la expresión

Es una herramienta de fundamental importancia en el mundo de la computación.

Las propiedades que se verifican en ella sirven de base al diseño y la construcción de las computadoras que trabajan con objetos cuyos valores son discretos

Álgebra de Boole