Categories: All - matrices

by Anthony Sosa 1 year ago

1573

Determinantes y Sistema de Ecuaciones Lineales

The text explores various fundamental concepts related to matrices and their properties. It discusses the rank of a matrix, which refers to the number of linearly independent rows. The process of transforming a matrix into its row echelon form is also covered.

Determinantes y Sistema de Ecuaciones Lineales

Rango de una Matriz

RANGO

Transformar matriz a escalonada por filas
Es el número de filas que sea linealmente independientes
El rango es el número de filas diferente de 0

Determinantes y Sistema de Ecuaciones Lineales

Matriz inversa usando matriz adjunta

MATRIZ ADJUNTA: Es una matriz cuadrado forma, que son los cofactores.
COROLARIO-----Si la igualdad del teorema anterior multiplicamos a los dos lados por la inversa se obtiene

FORMULA

A∧-1=1/(det(A))*Adj (A)

Adj(A)= det(A) * A-1

I*Adj(A)=det(A)*A∧-1

(A∧-1*A)*Adj(A)=A∧-1*det(A)*I

A*Adj(A)=det(A)*I

Adj (A)=La matriz transpuesta de la matriz de cofactores

Teoterema A: Sea una matriz cuadrada n*n y su matriz adjunta

Adj(A)*A=A*Adj(A)=det(A)I

Descomposicion L*U (Factorización)

Es un metodo que se puede encontrar en algoritmo para resolver sistema de ecuaciones con igual numero de ecuaciones como de incongnitas (m=n)
El metodo consiste en descomponer o factorar la matriz A en dos matrices tiangular superior (U) y truangular inferior (L) del tal manera que A= L*U

El objetivo es encontrar la matrix X

AX=B (L*U)x=B L(UX)=B L(Z)=V

El producto de U*L no dara la matriz a = L*U ≠ A

U = matriz triangular superior

L= matriz triangular inferior

Sistemas homogeneos

El sistema de ecuaciones AX=0 tiene solucion adicional a la trivial si el m
n= numero incognitas
m= numero de ecuaciones
Son aquellos sistemas de ecuaciones lineales cuya matriz de resultado es 0
Cunado una de las matrices sea diferente de cero sera Rango=3 -------- Caso contrario Rnago <3

DETERMINANTES

El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes
Los deter,omamtes de una matriz cuadrada y de su traspuesta tienen IGUAL. det A = det (A∧T)
TEOREMA A
Si un sistema de m ecuaciones y incognitas tiene como caracteristica que m es menor que n m < n, el numero de ecuaciones es menor que el numero de incognitas entonces el tiene al menos una solucion.

REGLA CRAMMER

Sea un sistema de ecuaciones donde m=n igual numero de ecuaciones que de incognitas

Funcion determinante

Forma de calculo
El determinante de una matriz triangular suoerior o triangular inferior es el producto de los elementos de la diagonal
Si una matriz B se realiza intercambiendo 2 filas o 2 columnas de una matriz A, entonces det(A)=-det(B)
Una Matriz tiene dos filas o dos columnas iguales 0 multiplos entre ellos su determinante es 0
Existen reglas de calculo de 2x2 y 3x3, para matrices 4x4 existen metodos diferentes.
NOTACION
Determinante de una matriz se denota con la letra de la matriz y dos rayas verticales a sus costados.
Convierte- en numero

a cada matriz le corresponde un numero

METODO DE GAUSS

METODO DE GAUSS JORDAN
GAUSS JORDAN
GAUSS

Matriz equivalente por fila 1

IGUAL SOLUCION
Si se tiene dos sistemas de ecuaciones de igual tamaño se presenta todos por sus matrices ampliadas
Equivalentes

Dependencia o Independencia Lineal

Dependiente
C1,C2 ≠ 0
Si las constantes son distintos de 0 son dependientes
Independiente
C1,C2 = 0
Al no existir contantes significaría que son ceros
Si las constantes son 0 son independientes

OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LA MATRIZ AUMENTADA

Se puede realizar operaciones elementales sin alterar el sistema de ecuaciones
A una fila cualquiera se puede sumar o restar k veces otra fila
A una fila se lo puede intercambios con otra fila
A una fila de la matriz se puede multiplicar por una constante diferente de 0
Matriz escalonada reducida por filas
En una columna que se encuentre el uno priincipal el resto de elementos son 0
El uno principal en las filas debe encontrarse abajo ya la derecha del uno principal de la fila procedente
El primer elemento diferente de 0 al leer de izqueirda a derecha debe ser 1 llamado 1 principal
Si la matriz aumentada tiene filas con unicamente 0 deben econtrarse al final

PROPIEDADES DE MATRICES

TEOREMA

Si la matriz A tiene inversa(A∧ -1)entonces una matriz inversa 2, UNICA

Una matriz B es inversa a una matriz A y si oslo si A,B= B,A =J

FORMA DE CALCULO

matriz obtenida en el lado derecho es la matri inversa

se transforma en una escalonada reducida por filas (gauss jordan)

Lado derecho de la vertical se coloca la matriz identidad

Se escribre la matriz ampliada

PROPIEDADES DE MATRIZ INVERSA

3) (A∧T)-1=(A∧T)∧T

2) (A*B)∧-1=B∧-1-A∧-1

1) (A∧-1)∧-1=A

PROPIEDADES DE MATRIZ TRANPUESTA
4) (C1+A)∧T=C1*A∧T
3) (AB)∧T=B∧T*A∧T
2) (A+B)∧T=A∧T+B∧T
1) (A∧T)∧T=A
PRODUCTO DE ESCALARES
3) C1(A+B)= A(C1B) = ((1A) B
2) C1(A+B)=C1A+C1B
1) (C1+C2)A=C1A+C2A

MATRIZ AMPLIADA

Formada por la matriz de coeficiete(A) y matriz resultado (b) separados por una vertical

Multiplicación de una matriz por un escalar

Resultado de una matriz cuyos elementos son K veces el valor original donde K es escalar
COMBINACIÓN LINEAL DE MATRICES DE IGUAL TAMAÑO

Sean Gi, G2 , G3 ....Gn escolar y A1,A2,A3,An matrices de igual tamañano

Entonces: C1A1+C2A2+C3A3...+CnAn es una combinación lineal

La suma de matrices multiplicadas cada una por un escolar

Suma de matrices

PRINCIPALES TIPOS DE MATRICES

Matriz transpuesta
(A∧T)- Matriz cuyas filas se tranforman
Matriz Binaria
Matriz cuyos elementos son 0 y 1
Matriz Identidad
Los elementos De la diagonal es 1 y el resto 0
Matriz Escalar
Iguales los que se encuentran en la diagonal
Matriz Diagonal
Los elementos fuera de la diagonal son ceros
Matriz cuadrada
Matriz Cuadrada
i≤j -- 1≤i≤n -- 1≤j≤n
Número de filas, igual al numero de columnas

VECTORES EN 3 DIMENSIONES

w=(Wx,Wy.Wz)=(Wx,Wy,Wz)

Se representan

El menor (matriz)

COFACTOR
La fila o columna que se debe seleccionar es la que ten mayor numero de 0, con ello evitar calcular cofactores
Se considera una filo o una columna cualquiera
Determinante es la suma de los productos entre los elementos de fila o columna por el cofactor determinante
Calculo de determinantes de orden superior 3*3

Desarrollo de cofactores

Una matriz que tenga una fila o columna de 0 su determinante es 0

DETERMINANTE DE MATRICES DE 3X3

Aumentar las dos primeras filas o las dos primeras columnas y multiplicar los elementos de las 3 diagonales (+) y los elementos en las 3 diagonales (-)

DETERMINANTE DE MATRICES DE 2X2

Se reduce a multiplicar los elementos de la diagonal principal (+) y diagonal secundaria(-)

Si una matriz B se obtiene al sumar o restar K veces una fila o columna de una matriz A/ Las dos matrices tienen igal determinante

Con un determinante de cada multiplacdo por -1 elevado a la suma de fila y la columna
Son de tamaño n-1 y m -1 en el que se elimina la fila y la columna del elemento correspondiente
Sub matrices por cada elemento de la matriz

VECTORES EN 2 DIMENSIONES

V1=(Vx,Vy)=(Vc Vy)

Producto de matrices

Am*n X Bn*p= Cmp
Se realiza entre vectore y la primera matriz
Vectores columba de la segunda matiz

Necesario que tengan igual dimensión

MATRIZ INVERSA

NOTA: Matriz que no tenga inverse se denomina como no singular o invertible.
A∧-1
A*A∧-1=A∧-1=A∧-1*A=I
Matriz que resultaba matriz A y que al multiplicar su resultaba sera matriz identidad

¿Qué son?

a(ij)
- elemento de la columna
i- elemento de la fila
Son grupo de números ordenados, cuyas posiciones de ubicación seran dadas
EN COLUMNAS ⬇
EN FILAS ➡

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES

Sistema de ecuaciones Lineales pueden ser escritas de forma matricial y su solución se realiza usando reglas de matrices.
A * X =b A-COEFICIENTE X-INCONITA-RESULTADO

X=A∧-1 b