Rango de una Matriz
RANGO
Transformar matriz a escalonada por filas
Es el número de filas que sea linealmente independientes
El rango es el número de filas diferente de 0
Determinantes y Sistema de Ecuaciones Lineales
Matriz inversa usando matriz adjunta
MATRIZ ADJUNTA: Es una matriz cuadrado forma, que son los cofactores.
COROLARIO-----Si la igualdad del teorema anterior multiplicamos a los dos lados por la inversa se obtiene
FORMULA
A∧-1=1/(det(A))*Adj (A)
Adj(A)= det(A) * A-1
I*Adj(A)=det(A)*A∧-1
(A∧-1*A)*Adj(A)=A∧-1*det(A)*I
A*Adj(A)=det(A)*I
Adj (A)=La matriz transpuesta de la matriz de cofactores
Teoterema A: Sea una matriz cuadrada n*n y su matriz adjunta
Adj(A)*A=A*Adj(A)=det(A)I
Descomposicion L*U (Factorización)
Es un metodo que se puede encontrar en algoritmo para resolver sistema de ecuaciones con igual numero de ecuaciones como de incongnitas (m=n)
El metodo consiste en descomponer o factorar la matriz A en dos matrices tiangular superior (U) y truangular inferior (L) del tal manera que A= L*U
El objetivo es encontrar la matrix X
AX=B (L*U)x=B L(UX)=B L(Z)=V
El producto de U*L no dara la matriz a = L*U ≠ A
U = matriz triangular superior
L= matriz triangular inferior
Sistemas homogeneos
El sistema de ecuaciones AX=0 tiene solucion adicional a la trivial si el m
n= numero incognitas
m= numero de ecuaciones
Son aquellos sistemas de ecuaciones lineales cuya matriz de resultado es 0
Cunado una de las matrices sea diferente de cero sera Rango=3 -------- Caso contrario Rnago <3
DETERMINANTES
El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes
Los deter,omamtes de una matriz cuadrada y de su traspuesta tienen IGUAL. det A = det (A∧T)
TEOREMA A
Si un sistema de m ecuaciones y incognitas tiene como caracteristica que m es menor que n m < n, el numero de ecuaciones es menor que el numero de incognitas entonces el tiene al menos una solucion.
REGLA CRAMMER
Sea un sistema de ecuaciones donde m=n igual numero de ecuaciones que de incognitas
Funcion determinante
Forma de calculo
El determinante de una matriz triangular suoerior o triangular inferior es el producto de los elementos de la diagonal
Si una matriz B se realiza intercambiendo 2 filas o 2 columnas de una matriz A, entonces det(A)=-det(B)
Una Matriz tiene dos filas o dos columnas iguales 0 multiplos entre ellos su determinante es 0
Existen reglas de calculo de 2x2 y 3x3, para matrices 4x4 existen metodos diferentes.
NOTACION
Determinante de una matriz se denota con la letra de la matriz y dos rayas verticales a sus costados.
Convierte- en numero
a cada matriz le corresponde un numero
METODO DE GAUSS
METODO DE GAUSS JORDAN
GAUSS JORDAN
GAUSS
Matriz equivalente por fila 1
IGUAL SOLUCION
Si se tiene dos sistemas de ecuaciones de igual tamaño se presenta todos por sus matrices ampliadas
Equivalentes
Dependencia o Independencia Lineal
Dependiente
C1,C2 ≠ 0
Si las constantes son distintos de 0 son dependientes
Independiente
C1,C2 = 0
Al no existir contantes significaría que son ceros
Si las constantes son 0 son independientes
OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LA MATRIZ AUMENTADA
Se puede realizar operaciones elementales sin alterar el sistema de ecuaciones
A una fila cualquiera se puede sumar o restar k veces otra fila
A una fila se lo puede intercambios con otra fila
A una fila de la matriz se puede multiplicar por una constante diferente de 0
Matriz escalonada reducida por filas
En una columna que se encuentre el uno priincipal el resto de elementos son 0
El uno principal en las filas debe encontrarse abajo ya la derecha del uno principal de la fila procedente
El primer elemento diferente de 0 al leer de izqueirda a derecha debe ser 1 llamado 1 principal
Si la matriz aumentada tiene filas con unicamente 0 deben econtrarse al final
PROPIEDADES DE MATRICES
TEOREMA
Si la matriz A tiene inversa(A∧ -1)entonces una matriz inversa 2, UNICA
Una matriz B es inversa a una matriz A y si oslo si A,B= B,A =J
FORMA DE CALCULO
matriz obtenida en el lado derecho es la matri inversa
se transforma en una escalonada reducida por filas (gauss jordan)
Lado derecho de la vertical se coloca la matriz identidad
Se escribre la matriz ampliada
PROPIEDADES DE MATRIZ INVERSA
3) (A∧T)-1=(A∧T)∧T
2) (A*B)∧-1=B∧-1-A∧-1
1) (A∧-1)∧-1=A
PROPIEDADES DE MATRIZ TRANPUESTA
4) (C1+A)∧T=C1*A∧T
3) (AB)∧T=B∧T*A∧T
2) (A+B)∧T=A∧T+B∧T
1) (A∧T)∧T=A
PRODUCTO DE ESCALARES
3) C1(A+B)= A(C1B) = ((1A) B
2) C1(A+B)=C1A+C1B
1) (C1+C2)A=C1A+C2A
MATRIZ AMPLIADA
Formada por la matriz de coeficiete(A) y matriz resultado (b) separados por una vertical
Multiplicación de una matriz por un escalar
Resultado de una matriz cuyos elementos son K veces el valor original donde K es escalar
COMBINACIÓN LINEAL DE MATRICES DE IGUAL TAMAÑO
Sean Gi, G2 , G3 ....Gn escolar y A1,A2,A3,An matrices de igual tamañano
Entonces: C1A1+C2A2+C3A3...+CnAn es una combinación lineal
La suma de matrices multiplicadas cada una por un escolar
Suma de matrices
PRINCIPALES TIPOS DE MATRICES
Matriz transpuesta
(A∧T)- Matriz cuyas filas se tranforman
Matriz Binaria
Matriz cuyos elementos son 0 y 1
Matriz Identidad
Los elementos De la diagonal es 1 y el resto 0
Matriz Escalar
Iguales los que se encuentran en la diagonal
Matriz Diagonal
Los elementos fuera de la diagonal son ceros
Matriz cuadrada
Matriz Cuadrada
i≤j -- 1≤i≤n -- 1≤j≤n
Número de filas, igual al numero de columnas
VECTORES EN 3 DIMENSIONES
w=(Wx,Wy.Wz)=(Wx,Wy,Wz)
Se representan
El menor (matriz)
COFACTOR
La fila o columna que se debe seleccionar es la que ten mayor numero de 0, con ello evitar calcular cofactores
Se considera una filo o una columna cualquiera
Determinante es la suma de los productos entre los elementos de fila o columna por el cofactor determinante
Calculo de determinantes de orden superior 3*3
Desarrollo de cofactores
Una matriz que tenga una fila o columna de 0 su determinante es 0
DETERMINANTE DE MATRICES DE 3X3
Aumentar las dos primeras filas o las dos primeras columnas y multiplicar los elementos de las 3 diagonales (+) y los elementos en las 3 diagonales (-)
DETERMINANTE DE MATRICES DE 2X2
Se reduce a multiplicar los elementos de la diagonal principal (+) y diagonal secundaria(-)
Si una matriz B se obtiene al sumar o restar K veces una fila o columna de una matriz A/ Las dos matrices tienen igal determinante
Con un determinante de cada multiplacdo por -1 elevado a la suma de fila y la columna
Son de tamaño n-1 y m -1 en el que se elimina la fila y la columna del elemento correspondiente
Sub matrices por cada elemento de la matriz
VECTORES EN 2 DIMENSIONES
V1=(Vx,Vy)=(Vc Vy)
Producto de matrices
Am*n X Bn*p= Cmp
Se realiza entre vectore y la primera matriz
Vectores columba de la segunda matiz
Necesario que tengan igual dimensión
MATRIZ INVERSA
NOTA: Matriz que no tenga inverse se denomina como no singular o invertible.
A∧-1
A*A∧-1=A∧-1=A∧-1*A=I
Matriz que resultaba matriz A y que al multiplicar su resultaba sera matriz identidad
¿Qué son?
a(ij)
- elemento de la columna
i- elemento de la fila
Son grupo de números ordenados, cuyas posiciones de ubicación seran dadas
EN COLUMNAS ⬇
EN FILAS ➡
SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES
Sistema de ecuaciones Lineales pueden ser escritas de forma matricial y su solución se realiza usando reglas de matrices.
A * X =b A-COEFICIENTE X-INCONITA-RESULTADO
X=A∧-1 b
