Види рівнянь

Mer som dette

Контроль: методологічні засади

Ved Ирина Симиненко

ВИХОВАННЯ

Ved Анастасія Насікан

Комплексне дослідження

Ved Марина Давиденко

Хімічна завивка

Ved Поліна Данченко

Види рівнянь

Найпростіші тригонометричні

Рівняння виду ctg(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\cot{x}=a:$



$x=arcctg\;a+\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Рівняння виду tg(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\tan{x}=a:$



$x=\arctan{a}+\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Рівняння виду cos(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\cos{x}=a:$



$-1\leq a\leq 1$ ; $x=\pm \arccos{a}+2\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Рівняння виду sin(x)=0

Найпростіші тригонометричні рівняння

$\sin{x}=a:$



$-1\leq a\leq 1$; $x=\left(-1\right)^{n}\arcsin{a}+\pi{n}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Логарифмічні

Логарифмічні рівняння

Означення. Логарифмічне рівняння — рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком логарифма.

$log_{a}{x}=c$, $log_{x}{b}=c$, $a>0$, $b>0$.

Якщо $a<0$, рівняння не має розв’язку.

Методи розв’язання простих логарифмічних рівнянь

За означенням: $\left( log_{a}{x}, a>0 \right) \Leftrightarrow a^c=x$;

За порівнянням: $\left( \log_{a}{x}=\log_{a}{b}, a>0, b>0 \right) \Leftrightarrow x=b$.

Показникові

Показникові рівняння

Означення. Рівняння виду $a^{x}=b$ , де $a>0$ називається показниковим рівнянням.

Методи розв’язування простих показникових рівнянь

• Порівняння основ:$\left( a^n=a^m, a>0 \right) \Leftrightarrow x=m$; Якщо основи рівні, то і показники рівні.
• Порівняння показників:$\left(x^b=y^b, b>0 \right) \Leftrightarrow x=y$; Якщо показники рівні, то і основи рівні.
• За означенням степенів:$\left( a^x=b, a>0, b>0 \right) \Leftrightarrow x=\log_{a}{b}$ .

Степеневі

Степеневі рівняння

Просте степеневе рівняння $x^{n}=a$ при різних значеннях $n$ і $a$ ($n$ - натуральне число):

1. при будь-якому додатному $a$ рівняння$x^n=a$ має єдиний дійний корінь$x=\sqrt[n]{a}$, якщо число $n$ непарне або два дійсних корені $x=\pm \sqrt[n]{a}$ , якщо число $n$ парне;
2. при $a=0$ рівняння $x^n=a$ має тільки один корінь: $x=0$ ;
3. при будь-якому від’ємному $a$ рівняння$x^n=a$ має єдиний дійсний корінь$x=\sqrt[n]{a}$ , якщо $n$ непапне і не має жодного дійсного кореня, якщо $n$ парне.

Квадратні

Неповне квадратне рівняння

Квадратні рівняння (неповні)

Означення. Якщо для рівняння виду$x^2+px+q=0$: $q=0$ або $p=0$, то таке рівняння називається неповним квадратним рівнянням.

• $x^2+px=0$ ;
• $x^2+q=0.$

Неповне зведене квадратне рівняння

Квадратні рівняння (неповні зведені)

Означення. Рівняння виду $x^2+px+q=0$ називається неповним зведеним квадратним рівнянням.

За теоремою Вієта:

$x_1+x_2=-p$;

$x_1\cdot x_2=q$ .

Повне квадратне рівняння

Квадратні рівняння (повні)

Означення. Рівняння виду $ax^2+bx+c=0$ називається повним квадратним рівнянням.

$D=b^2-4ac$ .

• якщо $D\geq 0$ , то рівняння два дійсні корені:

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.

• якщо $D<0$ , то рівняння не має коренів.

Лінійні

Лінійні рівняння

Означення. Рівняння виду $ax+b=0$ називаються лінійними.

• Якщо $a\neq 0$ , то $x=\frac{-b}{a}$ - єдиний корінь;
• Якщо $a=0$ , $b=0$ , то коренем рівняння буде будь-яке дійсне число;
• Якщо $a=0$ , $b\neq 0$ , то рівняння не має коренів.

Главная тема