FUNCIONES VECTORIALES
Integración de funciones vectoriales.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL
(Regla de Barrow)
Supongamos que F (t) es una antiderivada de f (t) en el intervalo [a,b]
INTEGRAL DEFINIDA
Para la función vectorial f (t), se define la integral definida de la misma
INTEGRAL INDEFINIDA
Si F (t) es cualquier antiderivada de f (t), la integral indefinida de esta se
define como {f (t) dt = F (t) + c
F′(t) = f (t)
Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
TEOREMA
ll r(t) ll es constante si y solo si r'(t) son ortogonales para todo t.
PROPIEDADES
1. Adición y sustracción d/dt(r(t)+-s(t)=r´-+s´(t) 2.Producto por un escalar d/dtCr(t)=C r´(t) 3.Producto por una función escalar d/dr(f (t) r (t)=f´(t)r(t)+f(t) r'(t) 4. Producto Escalar d/dr (r(t)*s(t)*s(t)+r(t)*s'(t) 5. Producto Vectorial d/dr(r(t)x s (t) =r'(t)x s(t) + r(t)xs'(t)
Límites y continuidad.
Teorema
Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y
sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.
Continuidad
Sea F t : A → Rn y a un punto de acumulacion de A ⊆ R. Análogamente
a la definición utilizada para funciones escalares diremos que F t es
continua en a sí y sólo si:
- Existe el vector F a
- Existe el limt→a F t
- limt→a F t = F a
Dada una función vectorial F (t) = (x (t) , y (t) , z(t)
Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector F (t) se acerca
más y más al vector l . Para que exista el límite de la función, debe existir el
límite de cada una de las funciones componentes.
Definición de función vectorial de una variable real, dominio y
graficación.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que
describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función
para toda t que pertenece al dominio de la función.
r (t) = (f( t) , g (t)) ... ... ... . Plano
r (t) =( f( t) , g (t) , h (t)) ....... Espacio
DOMINIO
El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los
dominios de cada una de las funciones componentes,
Aplicaciones
EN ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
Para determinar completamente una función vectorial necesitamos calcular
tanto su rotacional como su divergencia, además de las condiciones de
contorno. Por ello las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo
(ecuaciones de Maxwell) se expresan en términos de la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético.
VB=0
que constituye una de las leyes generales del Electromagnetismo que
establece que el campo de inducción magnética es solenoidal, es decir
tiene divergencia nula en todos los puntos.
Esto significa dicho campo no tiene ni fuentes ni sumideros y por tanto,
como resaltaremos posteriormente, las líneas de fuerza del campo
magnético siempre son cerradas. Los polos magnéticos, equivalentes en
este caso a las cargas eléctricas, no existen independientemente; siempre
que hay un polo Norte ha de aparecer un polo Sur.
EN EL CÁLCULO DE MOVIMIENTO DE UNA PROYECTIL
Cuando se lanza un objeto en presencia solamente de un campo
gravitatorio, como el de la tierra, se observa que dicho objeto se eleva,
alcanza una determinada altura y cae. Las ecuaciones vectoriales que
describen este tipo de movimientos son:
Este movimiento ocurre en un plano y para su estudio se puede
descomponer en un movimiento en la dirección horizontal y otro en la
dirección vertical. En la dirección horizontal, el movimiento es uniforme con velocidad constante y las ecuaciones
donde x0 es la componente horizontal de la posición inicial y es la
componente horizontal del vector velocidad inicial. 0xxv0
En la dirección vertical, el movimiento es uniformemente acelerado, donde
la aceleración es debida al campo gravitatorio. Las ecuaciones
donde y0 es la componente vertical de la posición inicial, v0y es la
componente vertical de la velocidad inicial y es la componente vertical de la aceleración.
Curvatura
Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto de
define a la torsión T como
T = det (F′ (t ), F ′′ (t) , F ′′′ (t) )/ F′ (t) × F′′ (t)
Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la
longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del
intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos s. En este caso el vector tangente siempre es unitario. Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco.
k = lldT/dsll
La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su
longitud. Esta definición es bastante intuitiva, pero no es fácil de calcular.
Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede
calcular como k =ll T ́ (t)/F′ (t) ll; o bien k =llF′(t) × F′′ (t)ll / ll F′ (t)ll3
Vector tangente, normal y binormal
Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman
un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.
VECTOR BINORMAL
B = T t × N t =F ́ t × F′′ t/ |F ́ t × F′′ t|
VECTOR NORMAL
N t = B (t) × T (t) =[F ́ t × F′′ t ] × F′(t)/| F ́ t × F′′ t × F′ t |
VECTOR TANGENTE
Como ya lo vimos anteriormente, al vector F ′(t) también se le llama vector
tangente a la curva F (t) en t, F ′ t = (f′ t , g′ t , h′(t)) y el vector
T t =F ′(t)/|F ′ t | , es el vector tangente unitario
Longitud de arco
La formula anterior se puede aplicar para cuando la ecuación de la curva
está dada por una función vectorial, por lo que, la longitud de arco de curva
entre dos puntos F(a) y F(b)
La formula anterior sugiere que si la curva C tiene la representación
paramétrica x = G t , y = H t , t ∈ [t1
,t2] Donde a = G t1, b = G t2 , c = H t1, d = H t2, entonces, como dx = G′
t dt y dy = H′ t dt, la longitud L de C
Como F x = 4 − x2, F′x = −2x, vemos que F’ es continua en [-2,2]; por tanto se puede aplicar el teorema anterior y tenemos:
Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación:
Ejemplo:
Encuentre la longitud de la parte de la parábola con ecuación y = 4 − x
2 que está en la parte superior del eje x.
Solución:
La curva que se desea determinar es la grafica de
Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es
continua en dicho intervalo, entonces C tiene una longitud L y
