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av Giada Moraca 3 år siden

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programmazione matematica

La trattazione riguarda la risoluzione delle disequazioni logaritmiche ed esponenziali utilizzando logaritmi. Si parte dalla determinazione delle condizioni di esistenza delle soluzioni, passando poi alla risoluzione della disequazione attraverso le proprietà dei logaritmi.

programmazione matematica

programmazione matematica

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trigonometria

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è quella parte della matematica che tratta le relazioni fra le misure dei lati e le funzioni goniometriche degli angoli di un triangolo

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applicazione dei teoremi sui triangoli

teorema del coseno

è una generalizzazione del teorema di pitagora

c²=a²+b²-2abcosγ

b²=a²+c²-2accosβ

a²=b²+c²-2bccosα

teorema dei seni

preso in considerazione il teorema della corda, risulterà vera la seguente uguaglianza: a/sinα=b/sinβ=c/sinγ

quindi possiamo dire che il rapporto tra un lato e il seno dell'angolo opposto rimane costante

c=2rsinγ diventa 2r=c/sinγ

b= 2rsinβ diventa 2r=b/sinβ

a=2rsinα diventa 2r=a/sinα

teorema della corda

in ogni circonferenza si può dimostrare che la corda è sempre uguale al diametro della circonferenza

AB=2rsinα

teorema dell'area

dato il primo teorema sui triangoli rettangoli avremo A=(1/2)absinα

triangoli rettangoli

secondo teorema sui triangoli rettangoli

in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'alto cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto, o moltiplicata per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto

primo teorema sui triangoli rettangoli

in un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto, o moltiplicata per il seo dell'angolo acuto adiacente

goniometria

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disequazioni goniometriche
disequazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

facilmente risolvibili riconducendole a una disequazione di secondo grado in tanx

disequazioni lineari in seno e coseno

si possono facilmente risolvere con il metodo grafico

disequazioni goniometriche frazionarie
disequazioni riconducibili a goniometriche elementari

facendola diventare una disequazione di secondo grado in coseno

mediante sostituzione

disequazioni goniometriche elementari

cos≤a

sin≤a

cosx≥a

sinx≥a

cosx< a

sinx< a

Sottoargomento

cosx>a

sinx>a

equazioni goniometriche
equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno

asin²+bsin²xcosx+ccos²x=0

equazioni lineari in seno e coseno

equazioni in cui l'incognita figura solo come argomento delle funzioni seno e coseno

equazione generale: asinx+bcosx+c=0

se c≠0 allora l'equazione può essere risolta in più modi

con il metodo dell'angolo aggiunto

con il metodo algebrico

con il metodo grafico

se c=0 abbiamo: asinx+bcosx=0

equazioni goniometriche di secondo grado in seno, coseno e tangente

alcune equazioni possono essere ricondotte a queste tramite le relazioni fondamentali della goniometria

equazioni goniometriche elemetari

alcune equazioni si possono ricondurre a quest'ultime tramite le formule goniometriche

funzioni goniometriche
formule

parametriche

posto senx-2cosx-1=0 avremo (2t/1+t)-1(1-t²/1+t²)-1/t=0

sinx=2t/1+t², cosx=1-t²/1+t² con t=tgx/2

formule di bisezione

cos(α/2)= √1+cosα/2

sin(α/2)= √1-cosα/2

formule di duplicazione

cot(2α)=cot²α-1/2cotα

tan(2α)=2tanα/1-tan²α

cos(2α)= cos²α-sin²α

sin(2α)=2sinαcosα

formule di sottrazione

cos(α-β)=cosβcosα-sinβsinα

sin(α-β)=sinαcosβ-sinαcosβ

formule di addizione

sin(α+β)=sinαcosβ+sinαcosβ

cos(α+β)=cosβcosα+sinβsinα

seconda relazione fondamentale della goniometria

tan= sinα/cosα

la cotangente è il suo reciproco

prima relazione fondamentale della goniometria

sen²α + cos²α = 1

cos = √(1- sen²α)

sen = √(1- cos²α)

sfruttano gli angoli e i radianti

circonferenza goniometrica

una circonferenza che ha il centro nell'origine degli assi e il raggio uguale a 1

tangente

non esiste quando il coseno è uguale a 0 e quando è di 90°

si definisce tangente dell'angolo l'ordinata del punto di intersezione tra il prolungamento del raggio vettore con la retta tangente tangente alla circonferenza nel punto A(1;0)

coseno

cosα = AB/CB

seno

sinα = AC/CB

i logaritmi

It is important that one is aware of his/her flaws.

After you acknowledge them, you give yourself the possibility to improve them or even get rid of them.

disequazioni logaritmiche e disequazioni esponenziali risolvibili mediante logaritmi
procedimento

la soluzione si trova risolvendo il sistema formato dalle soluzioni della disequzione ottenuta passando ai logaritmi e dalle condizioni di esistenza

si riconduce la disequazione mediante le proprietà dei logaritmi, alla seguente forma: logₐf(x)

determinare a condizione di esistenza

funzione logaritmica

poichè a^x>0 abbiamo ∀a: 01

clogₐ(b)=logₐ(b)^c

logₐ(b/c)=logₐb-logₐc

logₐ(b·c)=logₐb+logₐc

il grafico è strettamente legato a quello della funzione esponenziale

questo perchè la funzione logaritmica è l'inverso di quella esponenziale

prendiamo in considerazione la funzione logaritmica in base 1/4 di x, ovvero con la base compresa tra 0 e 1

interseca l'asse x nel punto (1,0)

la funzione è decrescente

deduciamo che log in base 1/4 di x tende a + infinito per x che tende a 0

prendiamo in considerazione la funzione logaritmica log₄(x), ovvero con a<1

inconta l'asse x nel punto (1;0)

la funzione è crescente

deduciamo che log₄(x)→ ∞ per x→0, ovvero il logaritmo tende a meno infinito per x che tende a meno di o

questa curva è simmetrica a quella esponenziale rispetto alla retta y=a^x, bisettrice nel I° e III° quadrante

si definisce funzione logaritmica ogni funzione avente come dominio R+; è definita dalla seguente equazione: y=logₐx, con a>0 e a≠0
esistono logaritmi particolari come:
Logx, dove la base è 10
lnx o logx, dove la base è i numero di Nepero
logₐ(b)=c, dove a è la base e b è l'argomento; si legge "logaritmo in base a di b"

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dalla definizione di logaritmo si deduce che la base deve essere compresa tra 0 e 1
avremo logₐ(b)=c ⇔ b=a^c

gli esponenziali

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disequazioni esponenziali
quando l'incognita appare nell'esponente di almeno una potenza

si presenta nelle forme a^x>b, a^x>b, a^x≤b, a^x≥b

equazioni esponenziali
si dice equazione esponenziale quando l'incognita compare nell'esponente di almeno una potenza

presenta un'unica soluzione ovvero sse b>0; se b≤0 è impossibile

si presenta nella forma a^x=b con a>0 e a≠1

funzioni esponenziali
proprietà

0

(0;1) asse y

a^x>0∀ x

il campo di esistenza è R

a>1

non incontra l'asse delle x ma quella delle y

il campo di esistenza è tutto R e f(x)>0∀x

il grafico

prendiamo in considerazione la funzione esponenziale y= (1/4)^x, ovvero con base compresa tra 0 e 1

incontra l'asse y nel punto (0;1)

al crescere dei valori di x i valori di y decrescono, quindi il grafico è decrescente

il grafico è contenuto nel semipiano delle ordinate positive

prendiamo in considerazione la funzione esponenziale y=3^x, ovvero con base >1

incontra l'asse y nel punto punto (0;1)

al crescere dei valori della variabile x i corrispondenti valori di y crescono, perciò la funzione y=2^x è crescente

il grafico è contenuto nel semipiano positivo in quanto la potenza 3^x>0 ∀ x∈R

in esse abbiamo il numero di Nepero "e", ovvero un numero compreso tra due e tre

"e" non è mai radice/soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.

chiamiamo funzione esponenziale di base a, con a numero positivo diverso da 1, la funzione definita dall'equazione nella forma: y=aⁿ con 01

il suo dominio naturale è R

bisogna tener conto delle regole delle potenze

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a^m/n = ⁿ√ a^m
a≠0, a≠1, a=1
a^-n = 1/a^n
(a^n)^m = a^n · m
a^n : a^m = a^n-m
a^m · a^n = a^m+n

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