Data Science(Наука о данных)
Искусственный интеллект
Машинное обучение
Мы часто видим таргетированную рекламу в социальных сетях на основе наших подписок, истории браузера.
Обученный алгоритм может предсказывать поведение клиентов:
определять, кто в ближайшее время совершит покупку;
понимать, кто какие товары предпочитает, чтобы их рекомендовать;
предлагать персонализированные скидки, чтобы стимулировать покупки.
Создание системы управления производством. С помощью датчиков и машинного обучения можно не только выполнять узкие задачи, например предотвращать поломки, но и управлять всем производством
Минимизация простоев на производстве
Метод обратного распространения ошибок
Функция активации
Глубокое обучение
Интернет переводчики
Алгоритмы распознования речи
BIG DATA
С помощью алгоритмов анализа Big Data можно решать задачи по использованию архивных данных и статистики для построения прогнозов на будущее
Компьютерное зрение
МРТ, ЭКГ и другие снимки помогают врачам ставить правильные диагнозы. Но точно таким же навыкам можно обучить машину. Например, Компания Arterys разработала программную платформу на базе системы компьютерного зрения, которая успешно визуализирует и анализирует медицинские изображения в диагностике сердечно-сосудистых заболеваний.
В обозримом будущем дроны смогут распознавать людей. Например, это поможет искать человека, который заблудился в лесу, и т.д
Технологии беспилотных автомобилей
Сейчас активно развивается технологии распознавания лиц(Например,Face id).
Математический Анализ
Множества
Операции
B∖A
A∪B
A∩B
A⊂B
Числовые множества
Инфинум множества
наибольшая из всех нижних граней.
Супремум множества
наименьшая из всех верхних граней.
Множество, элементами которого являются
вещественные числа, называется числовым множеством.
Числовые множества принято обозначать {x}, где под х будут пониматься вещественные числа.
Это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое.
Интегралы
Методы интегрирования
Метод неопределённых коэффициентов
Метод разложения дробно-рациональных
функций на простейшие
Метод интегрирования по частям
Метод замены переменных
Метод разложения
Несобственные интегралы
Род несобственного интеграла
2 род
Если предел lim(ŋ->+0) ᵇ-ⁿₐ∫ f(x)dx равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что интеграл расходится (не существует).
Если предел lim(ŋ->+0) ᵇ-ⁿₐ∫ f(x)dx существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится (существует)
Cнимается условие ограниченности подынтегральной функции. Будем называть с особой точкой функции f(x), если lim(x -> c) |f(x)| = +∞
1 род
Сходимость и расходимость
Расходимость
Если предел lim(A->+∞) ᴬₐ∫ f(x)dx равен бесконечности или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится (не существует).
Сходимость
Если предел lim(A->+∞) ᴬₐ∫ f(x)dx существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится (существует)
Функция f(x) непрерывна на [a, +∞)
Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций
Определённые интегралы
Если a < h, то |ʰₐ∫ f(x)dx| ⩽ ʰₐ∫ |f(x)|dx
ʰₐ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ʰₐ∫ f(x)dx ± ʰₐ∫ g(x)dx
ʰₐ∫ kf(x)dx = k ʰₐ∫ f(x)dx
Если a < c < h, то ʰₐ∫ f(x)dx = ᵉₐ∫ f(x)dx = ʰₑ ∫ f(x)dx
ʰₐ∫ f(x)dx = - ᵃₕ∫ f(x)dx
Число, равное пределу интегральных сумм
Неопределённые интегралы
Свойства
∫dF(x) = F(x) + C
d( ∫ f(x)dx ) = f(x)dx
∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
∫ c * f(x)dx = c * ∫ f(x)dx
Совокупность всех первообразных функции f (x)
Главная тема
Числовые ряды
Также к применению числовых рядов можно отнести представление различных тригонометрических и других функций в памяти компьютеров.
Программные расчёты поведения физических объектов
Работа с различными графическими объектами
Эталонные ряды (также необходимая теория)
Обобщённый гармонический ряд
Гармонический ряд
Геометрический ряд
Сходимость / расходимость рядов
Признаки сходимости / расходимости (помогает определять целесообразность вычисления при помощи электронно-вычислительных устройств)
Если есть два ряда A и B с положительными членами такие, что для всех n, An <= Bn, то в этом случае: если расходится ряд А, то расходится ряд В; если сходится ряд В, то сходится и ряд А
Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы существовало такое L < +inf, что для всех n, An <= L
Признак Даламбера
Признак сходимости (радикальный) Коши
Интегральный признак Коши
Простейшие свойства сходящихся рядов (набор свойств, без которых дальнейшее освоение темы невозможно)
5. Если ряды (1) и (2) сходятся, то ряд, образованный попарными суммами (разностями), также будет сходиться и будет верно соотношение: сумма нового ряда будет равна сумме рядов (1) и (2)
4. Если ряд сходится, то ряд, все члены которого умножены на константу (отличную от 0) также сходится. И сумма полученного ряда равна сумме изначального ряда, умноженного на константу.
3. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю
Следствие (признак расходимости ряда): Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд
расходится.
2. Если ряд Ak сходится, то lim(an) = 0 при n->inf
1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков.
Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость
исходного ряда.
Основные определения (по большей части - теоретические сведения, необходимые для работы с этой темой)
Остаток ряда после n-ого слагаемого
Общий член
Частные суммы
Применение в других отраслях
Экономика
Эконометрика
Расчеты в целях планирования потребности ресурсов, либо разработки плана или проекта
Моделирование хозяйственных процессов или явлений
Физика
Развитие квантовой механики привело к появлению нового раздела в криптографии- Квантовой
Алгоритмы квантового шифрования
Ни одна научная статья(по теор. физике) не обходится без компьютерного моделирования физических процессов
Математическое программирование
Списки, Массивы и матрицы в программировании
Медицина
Теория Вероятностей
Математическая Статистика
Дисперсионный анализ
Проверка статистических гипотез
Мат. Статистика помогает определять участки , в которых могли быть фальсификации и оценить примерное количество голосов, которые были вброшены.
Функции
Метод Ньютона
Определение - корень уравнения f(x) = 0
считается отделенным на отрезке[a,b], если на
этом отрезке f(x) = 0 не имеет других корней.
Отделить корни - значит разбить всю область
определения на отрезки, в каждом из которых содержится один корень
Свойства функции
Выпуклость
Выпукла вверх ( вогнута )
Производная четной степени меньше нуля
Выпукла вниз ( выпукла )
Производная четной степени больше нуля
Непрерывность функции
Разрывы
Виды разрывов
Разрыв 2-го рода - разрыв, при котором хотя
бы один из пределов бесконечный.
Разрыв 1-го рода - разрыв, при котором
у функции существуют как конечный
левый предел, так и конечный правый предел,
но левый и правый пределы различны. Также
именуется скачком.
Устранимый разрыв -
разрыв, при котором левосторонний
предел и правосторонний предел
равны друг другу, но в функция не
определена в точке.
Монотонность
Экстремумы
Достаточное условие
Если F`^(2n) ( x ) > 0, то в точке x - локальный минимум,
если F`^(2n)( x ) < 0, то в точке x - локальный максимум.
Необходимое условие
F`(x) = 0
Пределы
Замечательные пределы
Бином Ньютона
Типы неопределенности
Степенные
{ 1^0 } { 0^0 } { inf^0 }
Нестепенные
{ 0 / 0 } { inf / inf } { 0 * inf } { inf - inf }
Односторонние пределы
бесконечно большие
Бесконечно малые
Пределы функции
Полярные координаты
Программное обеспечение для станков с ЧПУ
Площадь криволинейного сектора
P = (1/2)*ʰₐ∫r^2(θ)dθ
Связь с декартовыми координатами
y = p*sinφ
x = p*cosφ
Производные
Первообразная
Функция F(x) называется первообразной
функции f(x), если F`(x) = f(x).
Производные от функций, заданных параметрически
Параметрическое задание функции
считается самым общим способом задания кривых
на плоскости
Производные от неявных функций
Частные производные
Смешанные производные
При вычислении частной производной по какой-либо
переменной все остальные переменные выступают как
константы
Правило Лопиталя
Раскрытие неопределённостей типа inf/inf
Раскрытие неопределённостей типа 0/0
Аппроксимация
Формула Тейлора -
https://clck.ru/GpeEw
Частный случай формулы Тейлора -
ряд Маклорена
Дифференциал
Полный дифференциал
Дифференциалы высших порядков
(дифференциалом n порядка называется дифференциал
от дифференциала (n-1) порядка)
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции -
Если функция дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке.
Теорема о дифференцируемости функций -
Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.
Производные высших порядков
Производная n порядка определяется
как производная от производной (n-1)
порядка
Формула Коши -
https://clck.ru/SpMFc
Формула Лагранжа
(теорема о среднем значении)
Особые случаи производных
Несуществование производных
# Функция Дирихле
Бесконечные производные
F`( x ) = 0; # (sqrt( x ))` в точке 0
Односторонние производные
F`( x + 0 )
F`( x - 0 )
Алгебра производных
Формулы
6.[f^(-1)(x)]` = 1/(f`(f^(-1)(x)))
5.[f(g(x))]` = f`(g(x)) * g`(x)
4.[f(x)/g(x)]` = (f`(x)g(x) - f(x)g`(x)) / g^2(x)
3.[f(x) * g(x)]` = f`(x)g(x) + f(x)g`(x)
2.[f(x) ± g(x)]` = f`(x) ± g`(x)
1.[cf`(x)] = cf`(x)
Геометрический смысл производной
производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
