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幂函数是一类具有特定形式的数学函数,通常表示为y=xα,其中x是自变量,α为常数。幂函数的定义简单,但其性质和应用十分广泛。学生在学习幂函数时,需要掌握其基本定义和图像特征,通过习题的练习来巩固所学知识。幂函数的图像随α值的不同而变化,具有明显的奇偶性和单调性。α为正整数时,函数图像为奇函数,单调递增;α为负整数时,图像为奇函数,单调递减。而当α为偶数时,函数图像为偶函数,无论是递增还是递减,都随着α的正负变化。

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幂函数

相关课外学习资源

有助于学生课后再巩固加强拓展学习。

画函数图像的软件

几何画板,有助于学生课后再熟悉函数图像;

习题

巩固学生对知识点的把握

习题:1、已知f(x)=(m2-m-1)xm+3是幂函数,求m的值。

(解:∵f(x)=(m2-m-1)xm+3是幂函数

    幂函数形如y=xα

   ∴m2-m-1=1

    m2-m-2=0

    (m-2)(m+1)=0

    m=2或m=-1

   当m=2时,f(x)=x5;当m=-1时,f(x)=x2,均符合题意

   综上所述,m=2或m=-1

   2、已知幂函数图像f(x)经过点(3,27),则f(x)是(奇)函数(填“奇”或“偶”),单调递(增)(填“增”或“减”)。

(幂函数f(x)=xα过点(3,27),代入得出α=log327=3,即f(x)=x3。当α>0且α为奇数时函数图像为奇函数,单调递增。

幂函数的图像

 以FLASH课件形式呈现一些幂函数的图像,要求学生通过观察图像寻找规律填写表格,从而掌握幂函数的图像这一知识点;

条件 定义域 值域 所在象限 奇偶性 在(0,+∞)单调性

α>0且α是整数 α为奇数 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 一、三 奇函数 单调递增

α为偶数 (-∞,+∞) [0,+∞) 一、二 偶函数 单调递增

α>0且α是分数 分母为奇数 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 一、三 奇函数 单调递增

分母为偶数 [0,+∞) [0,+∞) 一 单调递增

α=0 (-∞,0)∪(0,+∞) 1 一、二

α<0且α是整数 α为奇数 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 一、三 奇函数 单调递减

α为偶数 (-∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞) 一、二 偶函数 单调递减

α<0且α是分数 分母为奇数 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 一、三 奇函数 单调递减

分母为偶数 (0,+∞) (0,+∞) 一 单调递减

Main topic

fwfrwaetg

定义和习题

一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数。(※注意:xα前面的系数是1,后面没有其他项)

习题:下列函数①y= ;②y=3x-2;③y=x4+x2;④y= ,其中是幂函数的是(①④)

(①可以写成y=x-3形式;②x前面多了系数,后面多了常数项;③不止一项;④可以写成y= 形式)

Subtopic

导入

从学生熟悉的一次函数、二次函数等引入幂函数的定义

(问题:说出下列函数的名称

    y=kx (k≠0)       正比例函数

    y= (k≠0, x≠0)     反比例函数

    y=kx+b (k≠0)      一次函数

    y=ax2+bx+c (a≠0)    二次函数

    y=c (c为常数)      常值函数

    y=ax (a>0且a≠1)    指数函数

    y=logax (a>0且a≠1)   对数函数

    y=xα(α∈R)       我们见过吗?